作者： 李思达
本文转载自：国家人文历史（ID:gjrwls）
本文摘编自《国家人文历史》2023年3月上，原标题为《不只算出了精确π近似值 祖冲之：南北朝最强大脑》，有删节
在月球背面的诸多环形山中，有5座以中国古代天文学家命名，分别是祖冲之、郭守敬、张衡、石申和万户环形山。在5座环形山中，郭、张、石、万4座都是1970年被国际天文联合会正式批准的，独有位于月纬17.16°N，月经145.16°E的祖冲之环形山早了9年，1961年就获得了国际天文学会的认可。
祖冲之环形山得名如此之早，同苏联有一定关系。这座名为环形山的陨石坑被1959年升空的苏联月球3号卫星拍摄到，据参与该任务的苏联航天控制系统设计师B.Y.切尔托克（Boris Yevseyevich Chertok）回忆，当时苏联科学院决定用古代著名科学家和文化名人为环形山起名，还特别要求要包括一名美国和一名中国科学家。他们选择家喻户晓的爱迪生作为美国代表，但在选择中国科学家时由于不熟，只能向中国驻苏使馆咨询，最后中方反馈提供祖冲之，理由是祖冲之在公元5世纪作出了杰出数学成就——也就是众所周知的圆周率π精确近似值以及约、密率。
若切尔托克所言属实，祖冲之名列月背环形山，凭借的似乎并非天文学成就，但名列月背环形山又似乎暗示了他对天文学的贡献。这段逸闻其实恰似后世对祖冲之的认知，因为他在圆周率推算上的成就太过醒目，所以人们往往在不知不觉中忽略了另一些事实，那就是他不仅是名出色的数学家，更是一位在历法上作出不灭贡献的天文学家。
祖冲之，字文远，祖上是北方范阳（今河北涞水县）人，他本人则是土生土长的江南人。北方的范阳祖氏跑到南方生根，自然是因为西晋末永嘉大乱，“洛京倾覆，中州士女避乱江左者十六七”（《晋书·王导传》）。
在北方，范阳祖氏世代都有人做到二千石一级的官员，连续九代人都被举孝廉，但到了南方未能跻身大门阀士族的行列，一族中名气最大的祖逖终生也不过是被追赠车骑将军，同王、谢家完全不能比拟。祖氏在朝堂地位的卑微与尴尬，从祖冲之曾祖父祖台之的遭遇上就可以略见一斑。
东晋太元十七年（392）左右，祖台之已做到尚书左丞，却遭到太原王氏子弟王国宝的公开侮辱。史载，王国宝在某次宴会上喝醉之后，卷着袖子大骂祖台之，还将盘盏乐器往他身上掷去，而祖台之“不敢言”。在位的晋孝武帝司马曜听闻后，免去王国宝职务，又嫌祖台之懦弱，“非监司体”，同样免官。
孝武帝嫌弃祖台之怯懦，可王国宝家世赫赫，父亲是孝武帝年幼时的辅政大臣王坦之，岳父是淝水之战“矫情镇物”的名相谢安，本人又同孝武帝和把持朝政的司马道子关系密切，区区北方“伧荒”祖台之又怎敢顶撞他？唯有忍气吞声而已。后来政局反复，桓玄执政铲除皇室和王、谢、庾等大族势力，祖台之便参与其中，以御史中丞名义弹劾中书侍郎范泰、前司徒左长史王准之、辅国将军司马珣之“居丧无礼”，迫使三人罢官，算是对世家子弟出了一口恶气。
晋元熙二年、刘宋永初元年（420），刘裕灭东晋建立刘宋，祖家也像大多数人一样继续在朝廷任职。祖冲之祖父祖昌担任过将作大匠（梁武帝时改名大匠卿），品秩为中二千石，负责朝廷的土木工程；父亲祖朔之为奉朝请，为南朝安置闲散官的职务。正史中祖台之本传就只有一句话，祖昌和祖朔之甚至无传，但让人诧异的是，虽然父祖默默无闻，祖冲之却在刘宋第四任皇帝孝武帝刘骏在位时翻了身，进入世人的视野中。
祖冲之生于元嘉六年（429），比刘骏大一岁，史书中并未记载两人早期有什么瓜葛，但刘骏即位后，立即让祖冲之“直华林学省”，并“赐宅宇车服”（《南齐书·祖冲之传》）。《宋书》中没有“华林学省”的记载，但频频提到华林园，武帝、孝武帝多次在此亲自听取诉讼，少帝被弑前在华林园摆摊，可见是刘宋皇帝常去的一处园子，推测“直华林学省”为在华林园办公的皇帝近侍应属合理。不仅如此，大明五年（461），祖冲之首次出仕（“释褐”）就被任命为南徐州刺史刘子鸾的从事、公府参军更值得世人深思：刘子鸾为刘骏最宠爱的儿子，只要父亲看到什么好东西，“莫不入子鸾之府”，此外以皇子领大郡是刘宋压服地方豪族的惯例，为了辅助这些不谙世事的皇子，往往会给他配属精明能干的帝王心腹作为幕僚。大明五年时刘子鸾才5岁，遥领可能性更大，祖冲之到底是在南徐州处理公务还是在京城刘子鸾身边虽不可知，但能厕身皇帝托付爱子的近臣行列，可见他同刘骏关系远较旁人想象得密切。
大约在此时期，得到皇帝充分信任的祖冲之才能作出一项牵涉学术外甚多的重大天文改革——修改传统历法，推出《大明历》。
创造出灿烂农业文明的中华先民出于生产需要，很早就对历法产生了浓厚的兴趣，而且经过长期的对日月运行规律的观察和总结，他们发展出了一套较为罕见的阴阳历结合的历法，即以一次月圆（或月缺）到下次月圆（或月缺）为基准定月（朔望月），而以当年冬至到次年冬至为基准定年（回归年）。这么定的好处在于以朔望月定月，抬头即可确定时间，方便确定；以回归年定年，每年季节大致相同，方便生产。
然而，朔望月实际是月球绕地周期时长，回归年是地球绕太阳时长，两者并不能整除，每月按大小月分别为30或29天，算下来12月为354天，但回归年共365.25天，两者有11天左右的差距。为解决此问题，古代天文历法家采用置闰法加以补齐，也就是每隔两三年就多加一个“闰月”，由此又衍生出一个新问题：那么到底该多少年置一闰月？
解决方案早在先秦时期就被提出，人们在实践中发现19个回归年的时长同235个朔望月差不多相当，便在正常19年的228个月外另加7个闰月敉平差距。由于古人将19年称为一“章岁”，19年7闰也就被称为“章岁法”。从汉代开始流行的“四分历”，正是基于“章岁法”制定的。
很显然，“章岁法”只是一种近似，时间一长误差就会越来越大，到南北朝时人们已然发现，“章岁法”虽然能将日子合上，但每月时间却同当月原应有的季节产生了偏差，对一个需要按月份节气进行农业生产安排的国家来说，这无疑是天大的噩耗，修正历法的需求也变得迫切起来。
最先对“章岁法”提出挑战的是北凉学者赵，他于北凉玄始元年（412）制定《玄始历》（亦称《元始历》），提出改用600年置221闰的方法。南朝修订历法的先驱是与祖冲之同为刘宋时人的何承天，他编撰的历法于宋文帝元嘉二十二年（445）施行，被称为《元嘉历》。由于《元嘉历》依然使用了“章岁法”，因而还是同实际有着误差，祖冲之在经过反复计算后，认为赵600年置221闰月过少，但“章岁法”又过密，每200年就会多出一天，因而提出改为391年置144闰月。
按祖冲之的算法，每年实际为365.24281481日，而现代天文学所测一年为365.24219879日，误差只有65万分之一，约50秒，这个精确纪录直到608年被隋代天文学家张胄玄用《大业历》的365.24203170日刷新。
祖冲之为什么能将回归年确定得如此精确？最主要的原因，就是他引入了当时最先进天文发现成果—东晋天文学家虞喜确认的赤道岁差。所谓赤道岁差，是一种地球自转轴运动引起的春分点位移现象。现代人都知道，地球在太阳系中一面围绕太阳公转，一面沿南北极轴自转，但地球与日、月乃至其他几大行星间存在引力影响，因而自转轴并非处于稳定状态，如果我们设想有一条通过地心并垂直于黄道面的线，就会发现地球自转轴两端在绕着该假想线缓慢画圈转动，其结果就是从地面看，当年冬至太阳所处位置同次年冬至点会有一段微小位移，大约是每年50.2秒，每71.66667年左右就会后移一度。
圆周长和半径之比π到底是多少？这不仅是人们研究天文必然遇到，更是他们只要进行生产生活就会遇到的问题。人类最早有关圆周率的记载于约公元前16世纪的埃及莱因德数学纸草书（Rhind Mathematical Papyrus），算得圆周率为3.1605。当时古埃及人常用经验公式确定π值，方法也很简单：他们将谷子摆放在圆周和直径上，通过计算谷子比例可以得到π的近似值。
中国古代最早的数学著作之一，约成书于西汉末的《周髀算经》提到“圆径一二周三”，显然是将π值定为3，即古人所称的“古率”，虽然只是π很粗略的近似值，但以当时的数学发展水平，没有办法算出更好的值，因而在成书于东汉初的《九章算术》中也都在使用“古率”。
中国人得出较为精确的π值始于西汉末新莽时期。新莽“始建国”中，王莽下令让国师刘歆仿周礼制造一种铜斛，名为“律嘉量斛”（亦称“新莽嘉量”），脑洞大开地将五种量具融于一体，“其上为斛、其下为斗，左耳为升，右耳为合，合下为龠”，背面铭文则说明了斛的具体尺寸：“方一尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂百六十二寸，深尺，积千六百二十寸半，容十斗。”这段文字中值得注意的是方、庣、幂。方是量斛内底正中的边长为1尺，但并未同斛底圆壁接触的正方形，庣是正方形顶点到斛底圆周的距离，因而斛底圆直径就等于正方形对角线加两庣距离，根据勾股定理容易算得半径为0.7166尺，又已知圆面积“幂”为“百六十二寸”，则可反推刘歆所用π值约为3.1547。1956年，河南陕县刘家渠隋墓中发现了另一件新莽“始建国元年铜撮”，同样刻有类似的方、庣、幂，推算下来π值约为3.1679 。
史书并没有交代刘歆如何得出π值，有可能是依据改良后的经验公式。此后东汉张衡、蔡邕也都是使用经验公式给出了近似π值，张衡认为等于3.1622（10开方）；蔡邕认为等于25/8，直到魏晋之际，数学家刘徽在给《九章算术》做注时，才第一次给出求圆周率的几何方法——割圆术。
《割圆术》全文共1800字，核心就是在构造圆内接正多变边，利用计算正多边形面积就可以得到近似圆面积，然后通过圆面积公式（圆面积等于π乘半径平方）逆推出π值。在示例中，刘徽先在一个半径为1尺的圆内构造出内接正六边形（从圆上任意一点出发，以半径为步长与圆周相交，得到的6个点连接起来就是内接正六边形），然后根据内接正六边形构造出为正十二边形（沿圆心向正六边形每边中点作一条线，六条线延长到圆周时又得到6个点，连接正六边形顶点和新的6个点，就得到正12边形）。以此类推，只要正多边形边越多，其面积就越接近于圆，π值就越精确。
由于刘徽构造的都是正多边形，因而其面积可以简单用几何方法通过勾股定理求出。刘徽在《割圆术》的第二部分中就给出了从正n边形到正2n边形的面积递推公式，当推导到正96边形时，他就得出了π常用近似值3.14。然而更值得叹服的是他对数据的后续处理，当割到正192边形时，他得到面积314又64/625寸平方，通过“差幂”法，也就是将正192边形和正96边形面积相减数据乘2加在正96边形面积上，就可以得到：正192边形面积<圆面积<正96边形面积+差幂×2，通过加权平均计算，能够得到π值3.1416。
阿基米德割圆术示意图，他通过同时构造圆内接和外切正多边形，然后计算其周长以取得周长近似值，重复该步骤求得圆周率约为3.1409<π<3.1429。阿基米德的算法需要同时计算内接和外切正多边形，计算量较割圆术大不少，同时由于割圆术利用“差幂”的思路接近数值分析中“最小二乘法”，数值精度会更高
祖冲之正是在刘徽等人的基础上，同他儿子祖暅（亦有记载为祖暅之）将圆周率推到一个新高峰，精确到小数点后7位。有关他计算圆周率的史料仅见于《隋书·律历志》：“祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率圆径一百一十三，圆周三百五十五，约率圆径七，周二十二。”
这段话使用了古代数学表达方式，因而显得比较费解。“以圆径一亿为一丈”可以理解为他计算的数位多达9位（一亿），以此数位开始计算，才能将结果算到后面直到小数点后7位“忽”；盈数朒数都是相对于圆周率而言，是说他求出的圆周率满足不等式3.1415926（朒）<π<3.1415927（盈），此外他还给出了两个方便的近似值约率（22/7，约等于3.14285714）和密率（355/113，约等于3.14159292）。
综合考虑当时数学水平，后世多认为祖冲之是沿着刘徽割圆术的道路前进，算到正3072边形再辅以“内插法”，才算出了精度如此之高的π值。尽管他使用的仍然是几何方法，但国外要直到15世纪才由中亚数学家阿尔卡西（al-Kashi）打破了他的记录，计算到小数点后14位，更为精确的计算则要等到18世纪中叶后，西方数学家掌握无穷级数、积分、幂级数展开等近代数学工具才得以实现。
刘徽割圆术计算示意图，当正六边形(绿色部分)被割为正十二边形(绿、红、蓝部分)后，d所示红色部分可以利用勾股定理求得，该部分即为“差幂”(正十二边形减去正六边形的面积之差)，该“差幂”乘2即为长方形ABCD面积。图中可见，圆面积大于正十二边形面积，但小于正六边形加ABCD面积(刘徽不等式)，由此可确定介于一较大数和一较小数之间的π值，重复此步骤可得更为精确的π值
此外，不容忽略的是，祖冲之给出了简便而又精度甚高的约率和密率，约率大概是根据刘徽给出π近似值157/50而来，通过解不定方程，得到第一组解即为22/7，而密率大约为祖冲之独创，但后世已不知道他是如何求出此解，只能猜测可能是使用了何承天的“调日法”（数值逼近的内插法），或是使用了连分数法求最佳渐进分数，又或是同样用不定方程求解得出355/113，但不管是何种方法，西方都直到1573年才由德国数学家重新算出。以是而言，祖冲之对圆周率的计算领先世界千年之久。
大明六年（462），祖冲之将自己耗费多年心血的《大明历》呈给宋孝武帝，却遭到孝武帝宠信戴法兴的坚决反对，群臣畏惧戴法兴的权势，纷纷赞成他的意见。祖冲之反复驳难，直到大明八年才说服孝武帝，预定次年改元同时改历。没想到当年孝武帝就去世，此事就搁置下来。南齐代刘宋，祖冲之的《大明历》又获得文惠太子萧长懋的支持，结果又在准备实施前萧长懋去世，此事又被搁置。直到梁代齐后的天监九年（510）才在祖暅再三上奏下实施，而此时祖冲之已去世10年，距离他制定历法的王朝都更替到第三个了。
好在，祖冲之和他儿子光辉的学术成果远比一切命运打击都更为长久。千年以降，祖冲之之名不仅没有被人遗忘，还走出国门，登上月球，而曾权倾一世、打压祖冲之成果的戴法兴之流，除了能作为故事中的反派偶尔被人提及，还有谁会记得呢？
参考文献：
金开诚、郭蕊《数学泰斗祖冲之》。
魏晓妮《历史上对圆周率的探索》。
本文摘编自《国家人文历史》2023年3月上，原标题为《不只算出了精确π近似值 祖冲之：南北朝最强大脑》，有删节
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